BrainyCP

Включить gzip сжатие — включено
Включить кеширование статики в браузере — включено

Однако гугл pagespeed говорит, что это всё НЕ включено.

Беда печаль совсем...

Здраствуйте. Можно подробнее.
При не рабочей оптимизации какая была выбрана связка. версия php, мост
Какая cms установлена. (некоторые cms переписывают правила на свои).

Nginx+phpfpm 5.6
CMS самописная. Там нет ничего, что затрагивает сжатие и кеширование.
У меня впечатление, что почему-то не работает донастройка nginx, которая подключаются панелью отдельным файлом. Я уже и напрямую в конфиг всё это писал. Но ничего не работает. Потому что к примеру я туда и свои настройки добавлял, нужные для сайта, помимо сжатия и кеширования, но и они тоже не работают...

У вас случайно сервис cloudflare не подключен?
Сегодня при тестировке выяснилось что у сервиса есть раздел кеширование.
И значения берутся из этого сервиса игнорируя правила в файле .htaccess

На чистом nginx проверю.
Только напишите ответ по поводу подключен у вас сервис или нет

Нет, клауд не подключён.