BrainyCP

Проблема из под пользователя или root?
Если из под пользователя, попробуйте пересобрать jail

Мы проверим

Отправителя укажите, у вас 2 поля пустые.
Вы проверяли через telnet доступность портов?
Некоторые провайдеры блокируют 25 порт
Если exim, не видит соединение, значит к нему нет запроса.
Ошибки могут быть в портах, или отправителе

Какая версия PHP используется для этого сайта? 7.4, 8.2, 8.4 в этих точно не работало, я их и удалять пробовал и заново ставить, все одно. Update Оказалось, что /home/admin/usr/share/zoneinfo пустая после cp -r /usr/share/zoneinfo/* /home/admin/usr/share/zoneinfo/ 2>/dev/null || true заработало, но...

cat /etc/hosts

Покажите логи exim в момент подключения journalctl -u exim.service -f Jan 01 06:00:02 site systemd[1]: Stopped Exim Mail Transport Agent. Jan 01 06:00:02 site systemd[1]: exim.service: Consumed 1.523s CPU time, 14.5M memory peak. Jan 01 06:00:02 site systemd[1]: Starting Exim Mail Transport Agent.....

У вас готовый пример, только подставьте ваши данные.

Покажите логи exim в момент подключения

Мы проверим данный нюанс

Какая ос?